Funcții injective, surjective, bijective

Ce este o funcție injectivă? Dar, una surjectivă? În ce caz o funcție este bijectivă și ce legătură este între o funcție bijectivă și cea inversabilă? Răspuns la aceste întrebări veți găsi în continuare:

 

 

În materialul de mai jos veți vedea cum putem recunoaște o funcție injectivă ( surjectivă) prin lectură grafică :

 



Studierea monotoniei unei funcții (limba franceză)

Funcții pare și impare

Functia PARA este o functie ce îndeplinește două condiții:

•         oricare ar fi x apartinand domeniului de definitie, opusul său la fel aparține domeniului de definiție: x aparține D(f)  atunci -x aparține D(f)
•            pentru oricare x apartinand domeniului de definitie are loc relația f(x)=f(-x). 

Adica este o functie care are aceeasi valoare indiferent ca argumentul este un număr real  sau opusul său. Iată de ce graficul unei funcții pare este simetric cu axa OY.
Exemplu:

Funcția de gradul doi (al carui grafic stim ca este o parabola):f(x)= x²-1. 

f(2)=2²-1=4-1=3.

f(-2)=(-2)²-1=(-2)*(-2)-1=4-1=3.

Deci, 2 și -2 aparțin domeniului de definiție și f(2)=f(-2). La fel are loc pentru orice x din domeniul de definiție.

La functia IMPARA, lucrurile stau pe dos.Adică, prima condiție este identică. Dar, a doua f(-x)=-f(x). Are aceeasi valoare, dar cu semn schimbat. Deci,

Functia IMPARA este o functie ce îndeplinește două condiții:

•          oricare ar fi x apartinand domeniului de definitie, opusul său la fel aparține domeniului de definiție: oricare ar fi x apartinand domeniului de definitie, opusul său la fel aparține domeniului de definiție: x aparține D(f)  atunci -x aparține D(f)
•          pentru oricare x apartinand domeniului de definitie are loc relația -f(x)=f(-x). 

Pentru functia impara, graficul fucției este simetric în raport cu originea.

Exemplu:

Functie de gradul trei: f(x)=x³.

f(-1)=(-1)³=(-1)*(-1)*(-1)=-1

f(1)=1³=1*1*1=1.

Vedem ca 1 și -1 aparțin domeniului de definiție și f(-1)=-f(1).

Cum demonstrăm analitic că o funcție este pară sau impară? Verificăm cele două condiții din definiție.

Exemple:

           1) Fie funcția f(x) = x²+x.

Monotonia funcțiilor

Verificați-vă cunoștințele referitor la monotonia funcțiilor prin intermediul exercițiilor online ( pentru clase francofone). Pentru a vedea exercițiile faceți click aici și aici.

Graficul funcției

Pentru a vizualiza graficul  funcției f(x) faceți click . ( în colțul drept este imaginea de care aveți nevoie). Acest program îl puteți utiliza și ca constructor de grafice la tema pentru acasă și să cercetați proprietățile funcției.
Pentru a vizualiza graficul funcției g(x) faceți click aici.. Căutați graficul Gradul seismic pe scara Richter.

Funcții

1. Citiți atent documentul atașat ( paginile 1 - 5) și veți răspunde la următoarele întrebări:

• Ce se numește o funcție?
• Ce se numește domeniul de definiție a funcției?
• Ce se numește codomeniul funcției?
• Prin ce se deosebește codomeniul funcției de domeniul de valori a funcției?
• Ce se numește argumentul funcției? Dar, valoarea funcției ( imaginea funcției)?
• Care este modul cel mai frecvent de reprezenatare a funcției?
• În ce caz spunem că  două funcții sînt egale? Dați exemplu de două funcții egale. 

         2.  Apăsați aici și rezolvați exercițiile.
         3. Pe desenele de mai jos sînt reprezentate graficele a două funcții f(x) ( primul desen) și g(x) ( al doilea desen). Citiți de pe grafic:

Linii importante ale triunghiului

Pentru a vedea proprietățile liniilor importante ale triunghiului faceți click aici.

Proprietăţi ale paralelogramului

Unghiuri şi drepte paralele

Luni 26.11.2012

Stimati elevi!
Pentru lecţia de luni 26.11.2012, citiţi materialul prezentat în manual de la paginile 229 - 230, tema "Paralelism. Asemănarea". Veţi acorda atenţie şi veţi căuta răspuns la următoarele întrebări:

1. Care triunghiuri se numesc asemenea?
2. Care sînt criteriile de asemănare a triunghiurilor?
3. În ce constă lema(legea,teorema) fundamentală a asemănării?
4. Ce ne spune teorema bisectoarei interioare într-un triunghi?
5. Dacă laturile unui unghi sînt intersectate cu mai multe drepte paralele ce se întîmplă?
6. În ce constă proprietatea dreptelor paralele intersectate de secante?
7. Ce proprietate au unghiurile formate de două drepte paralele intersectate de o secantă?

Elaboraţi, în caietele de clasă, un rezumat al informaţiei găsite sub forma unui tabel cu rubricile: "Am ştiut", "Am ştiut, dar am uitat", "Nu am ştiut , dar voi şti".
La lecție, vom rezolva probleme - aplicații ale noțiunilor şi rezultatelor matematice studiate.
Mulţumesc pentru colaborare.
Ne revedem luni cu multe cunoştinţe.