Funcții injective, surjective, bijective

Ce este o funcție injectivă? Dar, una surjectivă? În ce caz o funcție este bijectivă și ce legătură este între o funcție bijectivă și cea inversabilă? Răspuns la aceste întrebări veți găsi în continuare:

 

 

În materialul de mai jos veți vedea cum putem recunoaște o funcție injectivă ( surjectivă) prin lectură grafică :

 



Studierea monotoniei unei funcții (limba franceză)

Funcții pare și impare

Functia PARA este o functie ce îndeplinește două condiții:

•         oricare ar fi x apartinand domeniului de definitie, opusul său la fel aparține domeniului de definiție: x aparține D(f)  atunci -x aparține D(f)
•            pentru oricare x apartinand domeniului de definitie are loc relația f(x)=f(-x). 

Adica este o functie care are aceeasi valoare indiferent ca argumentul este un număr real  sau opusul său. Iată de ce graficul unei funcții pare este simetric cu axa OY.
Exemplu:

Funcția de gradul doi (al carui grafic stim ca este o parabola):f(x)= x²-1. 

f(2)=2²-1=4-1=3.

f(-2)=(-2)²-1=(-2)*(-2)-1=4-1=3.

Deci, 2 și -2 aparțin domeniului de definiție și f(2)=f(-2). La fel are loc pentru orice x din domeniul de definiție.

La functia IMPARA, lucrurile stau pe dos.Adică, prima condiție este identică. Dar, a doua f(-x)=-f(x). Are aceeasi valoare, dar cu semn schimbat. Deci,

Functia IMPARA este o functie ce îndeplinește două condiții:

•          oricare ar fi x apartinand domeniului de definitie, opusul său la fel aparține domeniului de definiție: oricare ar fi x apartinand domeniului de definitie, opusul său la fel aparține domeniului de definiție: x aparține D(f)  atunci -x aparține D(f)
•          pentru oricare x apartinand domeniului de definitie are loc relația -f(x)=f(-x). 

Pentru functia impara, graficul fucției este simetric în raport cu originea.

Exemplu:

Functie de gradul trei: f(x)=x³.

f(-1)=(-1)³=(-1)*(-1)*(-1)=-1

f(1)=1³=1*1*1=1.

Vedem ca 1 și -1 aparțin domeniului de definiție și f(-1)=-f(1).

Cum demonstrăm analitic că o funcție este pară sau impară? Verificăm cele două condiții din definiție.

Exemple:

           1) Fie funcția f(x) = x²+x.

Monotonia funcțiilor

Verificați-vă cunoștințele referitor la monotonia funcțiilor prin intermediul exercițiilor online ( pentru clase francofone). Pentru a vedea exercițiile faceți click aici și aici.

Graficul funcției

Pentru a vizualiza graficul  funcției f(x) faceți click . ( în colțul drept este imaginea de care aveți nevoie). Acest program îl puteți utiliza și ca constructor de grafice la tema pentru acasă și să cercetați proprietățile funcției.
Pentru a vizualiza graficul funcției g(x) faceți click aici.. Căutați graficul Gradul seismic pe scara Richter.

Funcții

1. Citiți atent documentul atașat ( paginile 1 - 5) și veți răspunde la următoarele întrebări:

• Ce se numește o funcție?
• Ce se numește domeniul de definiție a funcției?
• Ce se numește codomeniul funcției?
• Prin ce se deosebește codomeniul funcției de domeniul de valori a funcției?
• Ce se numește argumentul funcției? Dar, valoarea funcției ( imaginea funcției)?
• Care este modul cel mai frecvent de reprezenatare a funcției?
• În ce caz spunem că  două funcții sînt egale? Dați exemplu de două funcții egale. 

         2.  Apăsați aici și rezolvați exercițiile.
         3. Pe desenele de mai jos sînt reprezentate graficele a două funcții f(x) ( primul desen) și g(x) ( al doilea desen). Citiți de pe grafic:

Linii importante ale triunghiului

Pentru a vedea proprietățile liniilor importante ale triunghiului faceți click aici.