luni, 10 decembrie 2012

Funcții pare și impare


Functia PARA este o functie ce îndeplinește două condiții:
  •         oricare ar fi x apartinand domeniului de definitie, opusul său la fel aparține domeniului de definiție: x aparține D(f)  atunci -x aparține D(f)
  •            pentru oricare x apartinand domeniului de definitie are loc relația f(x)=f(-x). 
Adica este o functie care are aceeasi valoare indiferent ca argumentul este un număr real  sau opusul său. Iată de ce graficul unei funcții pare este simetric cu axa OY.
Exemplu:
Funcția de gradul doi (al carui grafic stim ca este o parabola):f(x)= x2-1. 
f(2)=22-1=4-1=3.
f(-2)=(-2)2-1=(-2)*(-2)-1=4-1=3.
Deci, 2 și -2 aparțin domeniului de definiție și f(2)=f(-2). La fel are loc pentru orice x din domeniul de definiție.
La functia IMPARA, lucrurile stau pe dos.Adică, prima condiție este identică. Dar, a doua f(-x)=-f(x). Are aceeasi valoare, dar cu semn schimbat. Deci,
Functia IMPARA este o functie ce îndeplinește două condiții:
  •          oricare ar fi x apartinand domeniului de definitie, opusul său la fel aparține domeniului de definiție: oricare ar fi x apartinand domeniului de definitie, opusul său la fel aparține domeniului de definiție: x aparține D(f)  atunci -x aparține D(f)
  •          pentru oricare x apartinand domeniului de definitie are loc relația -f(x)=f(-x). 
Pentru functia impara, graficul fucției este simetric în raport cu originea.
Exemplu:
Functie de gradul trei: f(x)=x3.
f(-1)=(-1)3=(-1)*(-1)*(-1)=-1
f(1)=13=1*1*1=1.
Vedem ca 1 și -1 aparțin domeniului de definiție și f(-1)=-f(1).

Cum demonstrăm analitic că o funcție este pară sau impară? Verificăm cele două condiții din definiție.
Exemple:
           1) Fie funcția f(x) = x2+x.
Domeniul de definiție este R. Verificăm cele două condiții:
  • Dacă un număr x aparține mulțimii R atunci și opusul său -x aparține mulțimii R
  •  f(-x)=(-x)2 + (-x)= x2 – x ( deoarece pătratele a două numere opuse sunt egale).                     Observ, că f(-x) nu este egal nici cu f(x) ( care este f(x)=  x2+ x ) , dar nici cu –f(x).
<!--[if !supportLists]-->
Concluzie, funcția dată nu este nici pară, nici impară.
             2) Fie funcția f(x) = x2+2.
Domeniul de definiție este R. Verificăm cele două condiții:
  •       Dacă un număr x aparține mulțimii R atunci și opusul său -x aparține mulțimii R.
  •          f(-x)=(-x)2 + 2 = x2 + 2 = f(x) ( deoarece pătratele a două numere opuse sunt egale).Observ, că f(-x) egal cu f(x) ( care este f(x)=x2+2) pentru oricare x din domeniul de definiție .

 Concluzie, funcția dată este pară.
            3) Fie funcția f(x)= 1/x3.
Domeniul de definiție este R\{0}. Verificăm cele două condiții:
  •        Dacă un număr x aparține mulțimii R\{0}atunci și opusul său -x aparține mulțimii R\{0}.
  •         f(-x)=1/(-x)3 = 1/(-(x)3) = - (1/x3 ) = - f(x) ( deoarece cuburile a două numere opuse sunt numere opuse).Observ, că f(-x) este egal cu –f(x) pentru oricare x din domeniul de definiție.

Concluzie, funcția este impară.
         4) Fie funcția f(x) = x5+2x.
Domeniul de definiție este R. Verificăm cele două condiții:
  •        Dacă un număr x aparține mulțimii R atunci și opusul său -x aparține mulțimii R.
  •         f(-x) = (-x)5+2(-x) =-( x5) - 2x  =- ( x5+2x) = - f(x) ( deoarece două numere opuse ridicate la puterea a cincea sunt la fel numere opuse , apoi am scos minus în fața parantezei). Observ, că f(-x) este egal cu –f(x) pentru oricare x din domeniul de definiție.

Concluzie, funcția este impară.
Mai consultați și aici.
Dacă nu merge aveți link-ul: http://www.star-en-maths.tv/1ere-s-fonction-paire-ou-impaire-etude-parite-2-fonctions/
În așa mod veți rezolva tema pentru acasă – manual pagina 81 exercițiul 11. 
Indicație pentru punctul b : veți aduce la numitor comun.


5 comentarii: